如图.在平面直角坐标系中.点A.点B在x轴上.点C在y轴上.∠ADC=90°.AB=BC.线段BC.OB的长是一元二次方程x2-6x+8=0的两根．(1)求OA的长,(2)求经过点D的反比例函数的解析式,(3)点P在直线AD上.在平面内是否存在一点Q.使以点A.B.P.Q为顶点的四边形是菱形?若存在.请写出满足条件的点Q的个数.并直接写出其中两个点的坐标,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C在y轴上，∠ADC=90°，AB=BC，线段BC，OB的长是一元二次方程x²-6x+8=0的两根．
（1）求OA的长；
（2）求经过点D的反比例函数的解析式；
（3）点P在直线AD上，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）解方程可得BC、OB的长，即可解决问题．
（2）如图2中，作DE⊥OA于E，求出BE、DE即可解决问题．
（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个．当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ₁P₁是菱形，②四边形ABQ₂P₂是菱形，③当AB为对角线时，四边形AQ₃BP₃是菱形，分别求出P、Q坐标即可．

解答解：（1）如图1中，

∵线段BC，OB的长是一元二次方程x²-6x+8=0的两根，
∴BC=4，OB=2，
∵BA=BC
∴AB=4，OA=OB+BA=6．

（2）如图2中，作DE⊥OA于E．

∵cos∠CBO=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABD=∠CBO=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=1，DE=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$，
∴点D坐标（3，-$\sqrt{3}$），设经过点D的反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-3$\sqrt{3}$，
∴经过点D的反比例函数解析式为y=-$\frac{3\sqrt{3}}{x}$．

（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个．

当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ₁P₁是菱形，此时P₁（6+2$\sqrt{3}$，2），Q₁（2+2$\sqrt{3}$，2），
②四边形ABQ₂P₂是菱形，此时P₂（6-2$\sqrt{3}$，-2），Q₂（2-2$\sqrt{3}$，-2），
③当AB为对角线时，四边形AQ₃BP₃是菱形，此时P₃（4，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），Q₃（4，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．

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