Question

14．如图．AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，∠DAB=30°，延长AB到C，使BC=$\frac{1}{2}$AB，连接CD．求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 连接DO，DB，根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后求得∠ABD=60°，即可证得△OBD是等边三角形，∠ODB=∠BOD=60°，根据BD=$\frac{1}{2}$AB，BC=$\frac{1}{2}$AB，得出BD=BC，∠C=∠BDC，再次利用三角形内角和定理计算出∠ODC的度数为90°，即可证明CD是⊙O的切线．

解答 证明：连接DO，DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ODB=∠BOD=60°，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=BC，
∴∠C=∠BDC，
∴∠C+∠DOB=∠BDC+∠ODB=∠ODC，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线．

点评 此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．