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    20．【发现问题】如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，求证：△DFM≌△MGE．
    【拓展探究】如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，若AD=5，AB=6，△DFM的面积为a，直接写出△MGE的面积．

    分析 【发现问题】根据等腰直角三角形的性质得到∠DFB=90°，DF=FA；∠EGC=90°，AG=GE，根据三角形的中位线的性质得到FM∥AC，MG∥AB，推出四边形AFMG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，即可得到结论；                
    【拓展探究】根据三角形的中位线的性质得到FM∥AC，MG∥AB，FM=$\frac{1}{2}$AC=AG，MG=$\frac{1}{2}$AB=AF，∠MGC=∠BAC=∠BFM，等量代换得到∠DFM=∠MGE，根据余角的性质得到∠1=∠3，根据三角函数的定义 $\frac{DF}{AF}$=$\frac{AG}{GE}$，推出 $\frac{DF}{MG}$=$\frac{FM}{EG}$，得到△DFM∽△MGE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

    解答 【发现问题】证明：∵△ADB是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点，
    ∴∠DFB=90°，DF=FA；
    ∵△ACE是等腰直角三角形，G为斜边AC的中点，
    ∴∠EGC=90°，AG=GE，
    ∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
    ∴FM∥AC，MG∥AB，
    ∴四边形AFMG是平行四边形，
    ∴FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，
    ∴DF=MG，∠DFM=∠MGE，FM=GE，
    在△DFM与△MGE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=GE}\end{array}\right.$，
    ∴△DFM≌△MGE．                  

    【拓展探究】∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
    ∴FM∥AC，MG∥AB，FM=$\frac{1}{2}$AC=AG，MG=$\frac{1}{2}$AB=AF，∠MGC=∠BAC=∠BFM，
    ∴∠DFM=∠MGE，
    ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
    ∴∠1=∠3，
    ∴tan∠1=tan∠3，
    即 $\frac{DF}{AF}$=$\frac{AG}{EG}$，
    ∴$\frac{DF}{MG}$=$\frac{FM}{EG}$，
    ∵∠DFM=∠MGE，
    ∴△DFM∽△MGE，
    ∴$\frac{{S}_{△MGE}}{{S}_{△DMF}}$=（ $\frac{DF}{MG}$）2，
    在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
    ∴$\frac{{S}_{△MGE}}{{S}_{△DMF}}$=（ $\frac{MG}{DF}$）2=$\frac{9}{16}$，
    ∵△DFM的面积为a，
    ∴S△MGE=$\frac{9}{16}$a．

    点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质．三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，证得△DFM∽△MGE是解题的关键．

    练习册系列答案
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    性质探究：垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
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    5．下列各数中，最小的数是（　　）
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    12．下列运算正确的是（　　）
    A．a2×a3=a6B．（a+b）2=a2+b2C．（-a2）3=-a6D．a2+a3=a5

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