Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，点D在边AC上，且CD=$\frac{7}{5}$cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，当点P达到B点即停止运动，运动时间为t（s），解答下列问题．

（1）M、N分别是DP、BP的中点，连接MN．
①分别求BC、MN的值；
②求在点P从点A匀速运动到点B的过程中线段MN所扫过区域的面积；
（2）在点P运动过程中，是否存在某一时刻t，使BD平分∠CDP？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①在Rt△ABC中，根据BC=AB•cos∠ABC求出BC，再利用勾股定理求出BC，在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD，利用三角形中位线定理求出MN即可；
②如图2中，取BD中点G，连接MG，MN，易知四边形MNBG是平行四边形，观察图象可知，点P从点A匀速运动到点B的过程中线段MN所扫过区域的面积就是平行四边形MNBG的面积；
（2）如图3中，作BF⊥PD于F，作DE∥BF交CB于E，作PH⊥AC于H．首先证明EB=ED，设DE=EB=a，在Rt△CDE中，a²=（$\frac{24}{5}$-a）²+（$\frac{7}{5}$）²，可得a=$\frac{125}{48}$，推出CE=$\frac{24}{5}$-$\frac{125}{48}$=$\frac{527}{240}$，易证∠PDH=∠CED，△CED∽△HDP，可得$\frac{CD}{PH}$=$\frac{CE}{DH}$，可得$\frac{\frac{7}{5}}{\frac{3}{5}x}$=$\frac{\frac{527}{240}}{5-\frac{4}{5}x}$，解方程即可；

解答 解：（1）①如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=8cm，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，
∴BC=AB•cos∠ABC=$\frac{24}{5}$，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，CD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵PN=NB，PM=MD，
∴MN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$．

②如图2中，取BD中点G，连接MG，MN，易知四边形MNBG是平行四边形，

当点P与A重合时，AM=DM=$\frac{5}{2}$，BN=AN=4，BD=DG=$\frac{5}{2}$，
观察图象可知，点P从点A匀速运动到点B的过程中线段MN所扫过区域的面积就是平行四边形MNBG的面积
=$\frac{1}{2}$S_△ABD=$\frac{1}{2}$（S_△ABC-S_△BCD）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$$•\frac{24}{5}$•$\frac{32}{5}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{7}{5}$•$\frac{24}{5}$）=6．

（2）如图3中，作BF⊥PD于F，作DE∥BF交CB于E，作PH⊥AC于H．

∵∠BDC=∠BDF，∠BDC+∠DBC=90°，∠BDF+∠DBF=90°，
∴∠DBC=∠DBF，
∵DE∥BF，
∴∠EDB=∠DBF，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，设DE=EB=a，
在Rt△CDE中，a²=（$\frac{24}{5}$-a）²+（$\frac{7}{5}$）²，
∴a=$\frac{125}{48}$，
∴CE=$\frac{24}{5}$-$\frac{125}{48}$=$\frac{527}{240}$，
易证∠PDH=∠CED，△CED∽△HDP，
∴$\frac{CD}{PH}$=$\frac{CE}{DH}$，
∴$\frac{\frac{7}{5}}{\frac{3}{5}x}$=$\frac{\frac{527}{240}}{5-\frac{4}{5}x}$，
解得x=$\frac{112}{39}$．

点评 本题考查三角形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等、平行四边形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．