Question

10．（1）实验与探究
①在下列三个图中，给出菱形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图（1），（2），（3）中点C的坐标，它们分别是（8，4）、（e+c，d）、（c+e-a，d）；

②菱形绕原点逆时针依照（90°，2）旋转后点C对应的点C₁的坐标分别是（-4，16）、（-2d，2e+2c）、（-2d，2c+2e-2a）．（其中（90°，2）表示旋转90°，长度扩大2倍）
（2）归纳与发现
①在图4中，给出菱形ABCD的顶点A，B，D的坐标，求出顶点C的坐标；（点C的坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）

②菱形绕原点逆时针依照（90°，2）旋转后对应的C₁的坐标为多少．
（3）运用与推广
①通过对图（1），（2），（3），（4）的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论菱形ABCD处于直角坐标系的哪个位置，当顶点坐标为：A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）时，四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为m=c+e-a；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为n=d+f-b．（不必证明）；
②通过顶点C的坐标和旋转后的C₁的坐标探究，你会发现无论C点在哪个位置，绕原点逆时针依照（90°，n）旋转，设C（x₁，y₁），C₁（x₂，y₂），则x₁，x₂，y₁，y₂满足的等式是x₂=-ny₁，y₂=nx₁（不必证明）．
（备注：有两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则它们的中点P的坐标为（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$））

Answer 1

分析 （1）①根据平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图2，3中顶点C的坐标分别是（e+c，d），（c+e-a，d）；
②菱形绕原点逆时针依照（90°，2）旋转，根据定义即可解决问题；
（2）①分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，C₁，D₁，分别过A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依题意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．设C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b．继而推出点C的坐标．
②根据定义，利用①中的结论即可解决问题；
（3）①在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理证明△BEA≌△CFD（同（2）证明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C点的坐标为（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．
②根据旋转的定义，即可解决问题；

解答 解：（1）①由题意可得出：图1，图2，图3中的顶点C的坐标，它们分别是（8，4），（e+c，d），（c+e-a，d）．
故答案为：（8，4），（e+c，d），（c+e-a，d）．
②菱形绕原点逆时针依照（90°，2）旋转后点C对应的点C₁的坐标分别是（-8，16），（-2d，2e+2c），（-2d，2c+2e-2a）
故答案为（-8，16），（-2d，2e+2c），（-2d，2c+2e-2a）．

（2）①如图所示：分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，C₁，D₁，
分别过A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于点F．
在平行四边形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
在△BEA和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠EBA=∠FCD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△CFD（AAS）．
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
设C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）．
②菱形绕原点逆时针依照（90°，2）旋转后对应的C₁的坐标为（2b-2f-2d，2e+2c-2a）

（3）①由图1，2，3可得出：m=c+e-a，n=d+f-b．或m+a=c+e，n+b=d+f．
故答案为：m=c+e-a，n=d+f-b．
②由图1，2，3可得出：无论C点在哪个位置，绕原点逆时针依照（90°，n）旋转可得：x₂=-ny₁，y₂=nx₁，
故答案为x₂=-ny₁，y₂=nx₁．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系内的坐标，平行线的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．