Question

【题目】如图，抛物线顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）．

【解析】

（1）根据题目可设二次函数的顶点式，代入值求解

（2）根据二次函数图像的对称性找对称点，可求得E'F的解析式，即可求得G点坐标.

（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，

把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，

a=﹣1，

∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；

（2）存在，

如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，

∵E（0，3），

∴E'（2，3），

易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，

当x=1时，y=3×1﹣3=0，

∴G（1，0）