Question

20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AD上一点，BF平分∠CBE交CD于点F，当F是CD的中点时，线段DE的长为1．

Answer 1

分析 先延长DA至点G使AG=CF，连接BG，根据ASA得出△ABG≌△CBF，再根据全等三角形的判断与性质以及角平分线的性质得出∠ABG=∠EBF，最后根据AB∥CD，得出BE=GE，利用勾股定理求出AE的长即可得出答案．

解答 解：延长DA至点G使AG=CF，连接BG，
在△ABG和△CBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CF=AG}\\{∠C=∠BAG}\\{CB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF，
∴∠BFC=∠BGA，∠CBF=∠ABG，
∵BF平分∠CBE交CD于F，
∴∠CBF=∠EBF，
∴∠ABG=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFC，
∴∠EBG=∠BFC，
∴∠EBG=∠BGA，
∴BE=GE，
∴BE=CF+AE，
设AE=x，则BE=x+2，
∴AE2+AB2=BE2，
∴x2+16=（x+2）2，
∴x=3，
即DE=4-3=1，
故答案为1．

点评 此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，用到的知识点是全等三角形的判断与性质，角平分线的性质，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，证出△ABG≌△CBF．