Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AB=kBC，点P是四边形ABCD内一点，且∠BAP=∠BCP，连接PB、PD．猜想∠ABP与∠ADP的关系，并证明．
说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以补充条件k=1．在补充条件后，先画图，再完成上面的问题．

Answer 1

分析：利用平行四边形的性质可求出△PBE∽△PDH，从而得出∠ABP=∠ADP．

解答：结论：∠ABP=∠ADP
证明：如图1，过点P作PE∥AD交AB于E，GH∥AB交BC、AD于G、H．
∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC∥PE，AB∥CD∥GH．
∴∠PEA=∠ABC=∠PGC，∠PEB=∠BAD=∠PHD．
∵∠BAP=∠BCP，∠PEA=∠PGC，
∴△PAE∽△PCG，
∴

PE

PG

=

AE

CG

，
∵四边形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四边形，
∴AE=PH，BE=PG，DH=CG．
∴

PE

PH

=

BE

DH

．
又∵∠PEB=∠PHD，
∴△PBE∽△PDH．
∴∠ABP=∠ADP．
补充条件：k=1．
结论：∠ABP=∠ADP．
画出草图，如图2．
证明：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵k=1，AB=kBC∴AB=BC．
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC，
连接AC．
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA
∵∠BAP=∠BCP
∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP
∵BP=BP，∴△PAB≌△PCB
∴∠ABP=∠CBP=

1

2

∠ABC
∵AD=CD，AP=CP，DP=DP
∴△PAD≌△PCD
∴∠ADP=∠CDP=

1

2

∠ADC
∴∠ABP=∠ADP．

点评：本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质．