Question

10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

Answer 1

解：设10个学生为，，…，，n个课外小组，，…，．

首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．    

若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾．

所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组，，…，的人数之和不小于3×10=30．

另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组，，…，的人数不超过5n，  故  5n≥30，   所以n≥6．       

下面构造一个例子说明n=6是可以的．

，，，

，，．

容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．

所以，n的最小值为6．