分析 (1)先判断出△AMF≌△BME,得出AF=BE,MF=ME,进而判断出∠EBC=∠BED-∠ECB=45°=∠ECB,得出CE=BE,即可得出结论;
(2)同(1)的方法即可;
(3)同(1)的方法判断出AF=BE,MF=ME,再判断出∠ECB=∠EBC,得出CE=BE即可得出∠MDE=$\frac{α}{2}$,即可得出结论.
解答 解:(1)如图1,延长EM交AD于F,
∵BE∥DA,
∴∠FAM=∠EBM,
∵AM=BM,∠AMF=∠BME,
∴△AMF≌△BME,
∴AF=BE,MF=ME,
∵DA=DC,∠ADC=90°,
∴∠BED=∠ADC=90°,∠ACD=45°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB=45°,
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=45°=∠ECB,
∴CE=BE,
∴AF=CE,
∵DA=DC,
∴DF=DE,
∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,
∴∠MDE=45°,
∴MD=ME,
故答案为MD=ME;
(2)MD=$\sqrt{3}$ME,理由:
如图2,延长EM交AD于F,
∵BE∥DA,
∴∠FAM=∠EBM,
∵AM=BM,∠AMF=∠BME,
∴△AMF≌△BME,
∴AF=BE,MF=ME,
∵DA=DC,∠ADC=60°,
∴∠BED=∠ADC=60°,∠ACD=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB=30°,
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=30°=∠ECB,
∴CE=BE,
∴AF=CE,
∵DA=DC,
∴DF=DE,
∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,
∴∠MDE=30°,
在Rt△MDE中,tan∠MDE=$\frac{ME}{MD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴MD=$\sqrt{3}$ME.
(3)如图3,延长EM交AD于F,
∵BE∥DA,
∴∠FAM=∠EBM,
∵AM=BM,∠AMF=∠BME,
∴△AMF≌△BME,
∴AF=BE,MF=ME,
延长BE交AC于点N,
∴∠BNC=∠DAC,
∵DA=DC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴∠BNC=∠DCA,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB=∠EBC,
∴CE=BE,
∴AF=CE,
∴DF=DE,
∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,
∵∠ADC=α,
∴∠MDE=$\frac{α}{2}$,
在Rt△MDE中,$\frac{ME}{MD}$=tan∠MDE=tan$\frac{α}{2}$.
点评 此题是相似形综合题,主要考查了全等三角形的判断和性质,等腰三角形的判断和性质,锐角三角函数,解(1)(2)的关键是判断出∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADC,是一道基础题目.
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A. | 公理化 | B. | 类比思想 | C. | 数形结合 | D. | 模型思想 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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