精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
11.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D与点B在AC同侧,∠DAC>∠BAC,且DA=DC,过点B作BE∥DA交DC于点E,M为AB的中点,连接MD,ME.
(1)如图1,当∠ADC=90°时,线段MD与ME的数量关系是MD=ME;
(2)如图2,当∠ADC=60°时,试探究线段MD与ME的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,当∠ADC=α时,求$\frac{ME}{MD}$的值.

分析 (1)先判断出△AMF≌△BME,得出AF=BE,MF=ME,进而判断出∠EBC=∠BED-∠ECB=45°=∠ECB,得出CE=BE,即可得出结论;
(2)同(1)的方法即可;
(3)同(1)的方法判断出AF=BE,MF=ME,再判断出∠ECB=∠EBC,得出CE=BE即可得出∠MDE=$\frac{α}{2}$,即可得出结论.

解答 解:(1)如图1,延长EM交AD于F,
∵BE∥DA,
∴∠FAM=∠EBM,
∵AM=BM,∠AMF=∠BME,
∴△AMF≌△BME,
∴AF=BE,MF=ME,
∵DA=DC,∠ADC=90°,
∴∠BED=∠ADC=90°,∠ACD=45°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB=45°,
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=45°=∠ECB,
∴CE=BE,
∴AF=CE,
∵DA=DC,
∴DF=DE,
∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,
∴∠MDE=45°,
∴MD=ME,
故答案为MD=ME;

(2)MD=$\sqrt{3}$ME,理由:
如图2,延长EM交AD于F,
∵BE∥DA,
∴∠FAM=∠EBM,
∵AM=BM,∠AMF=∠BME,
∴△AMF≌△BME,
∴AF=BE,MF=ME,
∵DA=DC,∠ADC=60°,
∴∠BED=∠ADC=60°,∠ACD=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB=30°,
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=30°=∠ECB,
∴CE=BE,
∴AF=CE,
∵DA=DC,
∴DF=DE,
∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,
∴∠MDE=30°,
在Rt△MDE中,tan∠MDE=$\frac{ME}{MD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴MD=$\sqrt{3}$ME.

(3)如图3,延长EM交AD于F,
∵BE∥DA,
∴∠FAM=∠EBM,
∵AM=BM,∠AMF=∠BME,
∴△AMF≌△BME,
∴AF=BE,MF=ME,
延长BE交AC于点N,
∴∠BNC=∠DAC,
∵DA=DC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴∠BNC=∠DCA,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB=∠EBC,
∴CE=BE,
∴AF=CE,
∴DF=DE,
∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,
∵∠ADC=α,
∴∠MDE=$\frac{α}{2}$,
在Rt△MDE中,$\frac{ME}{MD}$=tan∠MDE=tan$\frac{α}{2}$.

点评 此题是相似形综合题,主要考查了全等三角形的判断和性质,等腰三角形的判断和性质,锐角三角函数,解(1)(2)的关键是判断出∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADC,是一道基础题目.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

1.“校园安全”受到全社会的关注,菏泽市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有60人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为90°;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数;
(4)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

2.如图所示,∠AOB,∠COD都是直角.
﹙1﹚试猜想∠AOD与∠COB在数量上有什么关系,你能用推理的方法说明你的猜想是合理的吗?
﹙2﹚当∠COD绕点O旋转到图(2)的位置是,你原来的猜想还成立吗?(不用说明理由)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

19.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图),其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两;如果每人分九两,则还差八两,请问:所分的银子共有46两.(注:明代时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

6.小李同学在求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根时,先在直角坐标系中使用软件绘制了二次函数y=-2x2+4x+1的图象(如图),接着观察图象与x轴的交点A和B的位置,然后得出该一元二次方程两个根的范围是-1<x1<0,2<x2<3,小李同学的这种方法主要运用的数学思想是(  )
A.公理化B.类比思想C.数形结合D.模型思想

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

16.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,以直角边AB为直径作半圆交AC于点D,以AD为边作等边△ADE,延长ED交BC于点F,BC=2$\sqrt{3}$,则图中阴影部分的面积为3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$π.(结果不取近似值)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

3.已知△ABC的三边长为8、12、18,又知△A1B1C1也有一边长为12,且与△ABC相似而不全等,则这样的△A1B1C1个数为(  )
A.0B.1C.2D.3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

20.如图,一次函数y=kx+b的图象过点(4,1),当y>1时,x的范围是(  )
A.x>0B.x<1C.x>1D.x<4

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

1.如图所示,正五边形ABCDE的边长为10cm,则对角线AD=5+5$\sqrt{5}$cm.

查看答案和解析>>

同步练习册答案