Question

如图，已知：正△ABC，AO⊥BC于H，⊙O切AB为D，
（1）求证：AC为⊙O切线；
（2）⊙O与BC交于E、F，若EF=2，OH=

3

3

，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）过O作OG垂直于AC于点G，连接OD，由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，可得出一对直角相等，再由三角形ABC为等边三角形，AO垂直于BC，利用三线合一得到AO为角平分线，得到一对角相等，再由AO为公共边，利用AAS可得出三角形AOD与三角形AOG全等，利用全等三角形的对应边相等可得出OD=OG，即OG为圆的半径，利用切线的判定方法可得出AC为圆O的切线，得证；
（2）由OH垂直于EF，利用垂径定理得到H为EF的中点，由EF的长求出EH的长，在直角三角形OEH中，利用锐角三角函数定义求出tan∠EOH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠EOH的度数，同时利用勾股定理求出OE的长，即为圆的半径，再由OH垂直于EF，且H为EF中点，得到OH垂直平分EF，可得出OE=OF，利用三线合一得到OH为角平分线，可得出∠EOF的度数，由扇形OEF的面积-三角形OEF的面积=阴影部分的面积，分别利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）证明：过O作OG⊥AC于点G，可得∠AGO=90°，连接OD，

∵△ABC为等边三角形，且AO⊥BC，
∴AO为∠BAC的平分线，即∠DAO=∠CAO，
又AB为圆O的切线，∴OD为圆O的半径，∠ADO=∠AGO=90°，
在△ADO和△AGO中，

∠DAO=∠CAO ∠ADO=∠AGO AO=AO

，
∴△AGO≌△ADO（AAS），
∴OD=OG，又OD为圆O的半径，
则AC为圆O的切线；
（2）∵OH⊥EF，
∴H为EF的中点，又EF=2，
∴EH=FH=1，又OH=

3

3

，
在Rt△OEH中，tan∠EOH=

EH

OH

=

3

，
∴∠EOH=60°，
由勾股定理得：OE=

OH2+EH2

=

2 3

3

，
∵OH⊥EF，H为EF的中点，
∴OE=OF，
∴∠EOF=2∠EOH=120°，
则S_阴影=S_扇形OEF-S_△EOF
=

120π•( 2 3 3 )2

360

-

1

2

×2×

3

3

=

4π

9

-

3

3

．

点评：此题考查了切线的判定与性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的三线合一性质，垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积求法，利用了转化的思想，切线的判定方法有两种：有点，连接证明垂直；无点，作垂线证明垂线段等于圆的半径，本题第一问用的是方法2．