Question

【题目】如图，抛物线与坐标轴分别交于点、，其中有，，过抛物线对称轴左侧的一点做轴于点，点在上运动，点是上的动点，连接，．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；

（2）求的最小值；

（3）点是对称轴的左侧抛物线上的一个点，当时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（1，0）；（2）5；（3）Q的坐标为

【解析】

（1）把A（-4，0），C（0，3）代入y=ax2+3ax+c即可求出二次函数解析式，然后将y=0代入解析式中即可求出结论；

（2）有题意可得AD+AN=BN+AN，然后根据两点之间线段最短可得BN+AN≥AB，从而求出结论；

（3）连接BC，在x轴上取一点F，使，从而求出点F的坐标，然后过点F作FQ∥BC，交抛物线于点Q，则，利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而求出直线FQ的解析式，然后联立方程即可求出点Q的坐标．

解：（1）把A（-4，0），C（0，3）代入y=ax2+3ax+c得：

，

解得：

∴抛物线的解析式为

当y=0时,

解得：，

∴点B的坐标为（1，0）

（2）∵AD=NB

∴AD+AN=BN+AN

∵BN+AN≥AB

∴AD+AN的最小值为AB=OA+OB=4+1=5

（3）如图，连接BC，在x轴上取一点F，使

∴点F的坐标为

过点F作FQ∥BC，交抛物线于点Q，则

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把点B（1，0），C（0，3）代入

解得：

∴直线BC的解析式为y=-3x+3

由FQ∥BC可设直线FQ的解析式为y=-3x+c，

把点代入，得

解得

直线FQ的解析式为

联立

解得：或（由点Q在对称轴左侧，故不符合题意，舍去）

当时，

∴当时，点Q的坐标为