Question

11．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD； ②△ACD∽△BCE； ③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为$\frac{3}{8}$．其中正确的结论是①②④⑤．

Answer 1

分析 ①首先根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠DCE=45°，从而得到∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，进而得到结论：∠ECB=∠DCA正确；
②利用两对角对应相等的三角形相似证得结论△ACD∽△BCE即可；
④证得△BEC∽△ADC后得到∠DAC=∠B=45°，从而得到∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC；
③由④知：△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$，故S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，从而判定是否正确即可；

解答 解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正确；
②∵△ABC与△CDE，均为等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∵∠ADC=∠BEC，
∴△ACD∽△BCE，
故②正确；
④∵$\frac{CD}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{BC}$；
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$；
故S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，故⑤正确；
因此本题正确的结论是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．