Question

在直角坐标系中，抛物线y=x²-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3

10

．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为

8

5

5

，求这时点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）欲求抛物线的解析式，需求出m、n的值，根据抛物线的解析式，易得顶点A的坐标，然后将x=1代入抛物线的解析式中，可得点C的坐标，即可根据AC的长得到第一个关于m、n的等量关系式；由于抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，即根的判别式△=0，联立两个关于m、n的式子即可求出m、n的值，从而得到该抛物线的解析式．
（2）根据（1）的抛物线解析式可求得点B的坐标，即可得到OB的长；过O作OM⊥BD于M，根据题意可知OM=

8 5

5

，进而可利用勾股定理求得BM的长；在△EOF中，OM⊥EF，易证得△OBM∽△FOM，根据相似三角形所得比例线段即可求得OF的长，也就得到了F点的坐标，进而可利用待定系数法求得直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点D的坐标．

解答：解：（1）根据题意，画出示意图如答图所示，过点C作CE⊥x轴于点E；

∵抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3

10

，
∴C（1，n-2m+2），
其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2；
∵抛物线的顶点A在x轴负半轴上，
∴A（m，0），
其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m；
由已知得

△=4m2-4(n+1)=0…(1) (1-m)2+(n-2m+2)2=(3 10 )2…(2)

，
由（1）得n=m²-1；（3）
把（3）代入（2），得（m²-2m+1）²+（m²-2m+1）-90=0，
∴（m²-2m+11）（m²-2m-8）=0，
∴m²-2m+11=0（4）或m²-2m-8=0（5）；
对方程（4），
∵△=（-2）²-4×11=-40＜0，
∴方程m²-2m+11=0没有实数根；
由解方程（5），
得m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入（3），得n=3，
∴抛物线的关系式为y=x²+4x+4

（2）∵直线DB经过第一、二、四象限；
设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OM⊥DB于点M，
∵点O到直线DB的距离为

8

5

5

，
∴OM=

8

5

5

，
∵抛物线y=x²+4x+4与y轴交于点B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∴BM=

OB2-OM2

=

42-( 8 5 5 )2

=

4

5

5

；
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴△OBM∽△FOM，
∴

OB

MB

=

FO

MO

，
∴

OB

4 5 5

=

FO

8 5 5

，
∴OF=2BO=8，F（8，0）；
∴直线BF的关系式为y=-

1

2

x+4；
∵点D既在抛物线上，又在直线BF上，
∴

y=x2+4x+4 y=- 1 2 x+4

，
解得

x1=- 9 2 y1= 25 4

，

x2=0 y2=4

，
∵BD为直线，
∴点D与点B不重合，
∴点D的坐标为(-

9

2

，

25

4

)．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到勾股定理、根的判别式、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法等重要知识，综合性强，难度较大．