Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH．

（1）求证：△AEH≌△CGF；

（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线EG是否经过某一个定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由见解析.

【解析】分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠C=90°，AB=BC=CD=DA，由AE=BF=CG=DH证出AH=CF，由SAS证明△AEH≌△CGF即可求解；

（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心．

详解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠C=90°，AB=BC=CD=DA，

∵AE=BF=CG=DH，

∴AH=CF，

在△AEH与△CGF中，

AH=CF，∠A=∠C，AE=CG，

∴△AEH≌△CGF（SAS）；

（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：

连接AC、EG，交点为O；如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠OAE=∠OCG，

在△AOE和△COG中，

∠OAE=∠OCG，∠AOE=∠COG，AE=CG，

∴△AOE≌△COG（AAS），

∴OA=OC，OE=OG，

即O为AC的中点，

∵正方形的对角线互相平分，

∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心．