Question

（2013•太仓市二模）探究与应用．试完成下列问题：
（1）如图①，已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB的中点，作∠POQ=90°，分别交AC、BC于点P、Q，连结PQ、CO，求证：AP²+BQ²=PQ²；
（2）如图②，将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形，点O仍为AB的中点，∠POQ=90°，试探索上述结论AP²+BQ²=PQ²是否仍成立；
（3）通过上述探究（可直接运用上述结论），试解决下面的问题：如图③，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O为AB的中点，过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q，连结PQ，求△PCQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）证△APO≌△COQ，求出AP=CQ，同理求出BQ=CP，根据勾股定理求出即可；
（2）延长QO到D，使OD=OQ，连接AD，PD，求出PD=PQ，证△AOD≌△BOQ，推出AD=BQ，∠BAD=∠B，OD=OQ，在Rt△PAD中，由勾股定理得：AP²+AD²=PD²，即可得出答案；
（3）连接PO、OQ，则∠POQ=90°，根据勾股定理得出AP²+BQ²=PQ²，设PC=a，CQ=b，推出（6-a）²+（8-b）²=a²+b²，求出b=-

3

4

a+

25

4

，代入S_△PCQ=

1

2

ab求出即可．

解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，O为斜边AB中点，
∴AO=OC=OB，∠A=∠B=∠OCQ=45°，∠AOC=90°，
∵∠POQ=90°，
∴∠AOP+∠POC=∠POC+∠COQ，
∴∠AOP=∠COQ，
在△AOP和△COQ中

∠A=∠OCQ AO=OC ∠AOP=∠COQ

∴△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
同理BQ=CP，
在Rt△CPQ中，CP²+PQ²=PQ²，
∴AP²+BQ²=PQ²．

（2）解：还成立，
理由是：延长QO到D，使OD=OQ，连接AD，PD，
∵O是AB中点，
∴AO=OB，
在△AOD和△BOQ中

AO=BO ∠AOD=∠BOQ DO=OQ

∴△AOD≌△BOQ，
∴AD=BQ，∠BAD=∠B，OD=OQ，
∵PO⊥OQ，
∴PD=PQ，
∵∠C=90°，
∴∠PAD=90°，
在Rt△PAD中，由勾股定理得：AP²+AD²=PD²，
∴AP²+BQ²=PQ²．

（3）解：∵∠C=90°，
∴PQ是直径，
连接PO、OQ，则∠POQ=90°，
∴AP²+BQ²=PQ²，
设PC=a，CQ=b，
∴（6-a）²+（8-b）²=a²+b²，
∴3a+4b=25，
∴b=-

3

4

a+

25

4

，
∵S_△PCQ=

1

2

ab，
∴S_△PCQ=-

3

8

a²+

25

8

，
当a=

25

6

时，△PCQ的面积的最大值是

625

96

．

点评：本题考查了勾股定理，二次函数的最值，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．