Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.

(1)已知EO＝，求正方形ABCD的边长；

(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）正方形ABCD的边长为2；（2）EM＝CN，证明详见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形和正方形的性质求得AC的长度，再在直角三角形ABC利用三角函数求得AB的长度，即正方形ABCD的边长。

（2）先证明△EMO，再根据相似三角形的性质求得.

（1）由题意可知△ACF为等腰三角形，CE为∠ACF的角平分线，所以由等腰三角形的性质可知，

CE为线段AF的垂直平分线，E为AF的中点,

又因为点O是AC的中点，

所以EO为△AFC的中位线，

所以OE//CF，且.

因此AC＝CF＝2OE＝2.

因为四边形ABCD为正方形，

所以∠ACB＝45°.

在RT△ABC中，AB＝AC·sin45°＝2＝2.

故正方形ABCD的边长为2.

（2）,

证明如下：因为OC＝AC＝，所以EO＝OC，

所以∠OEM＝∠CAN.

根据正方形的性质，得∠NAC＝∠OBC＝45°，

因为OE//CF，

所以∠MOE＝∠OBC，

所以∠MOE＝∠NAC＝45°，

所以△EMO∽△CNA，

故.