Question

如图，BC垂直平分AD，垂足为E，AD平分∠BAC
（1）求证：△ABE≌△ACE；    
（2）求证：AB=CD；
（3）若点F在AD的延长线上，∠F=∠BCD，BD=DF，求证：CD所在直线是BF的垂直平分线．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）易证∠CAE=∠BAE和∠AEC=∠AEB=90°，即可证明△ABE≌△ACE；
（2）根据△ABE≌△ACE，可得AB=AC，再根据垂直平分线性质可得AC=CD，AB=BD，即可解题；
（3）延长CD交BF于G点，易证CD⊥BF，即可证明RT△BDG≌RT△FDG，可得BG=FG，即可解题．

解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC
∴∠CAE=∠BAE，
∵AD平分∠BAC
∴∠AEC=∠AEB=90°，
在△ABE和△ACE中，

∠CAE=∠BAE AE=AE ∠AEC=∠AEB=90°

，
∴△ABE≌△ACE，（ASA）
（2）∵BC垂直平分AD，
∴AC=CD，AB=BD，
∵△ABE≌△ACE，
∴AB=AC，
∴AB=CD；
（3）延长CD交BF于G点，

∵∠F+∠CBG=90°，∠F=∠BCD，
∴∠BCD+∠CBG=90°，
∴CD⊥BF，
在RT△BDG和RT△FDG中，

BC=DF DG=DG

，
∴RT△BDG≌RT△FDG（HL），
∴BG=FG，
∴CD所在直线是BF的垂直平分线．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABE≌△ACE和RT△BDG≌RT△FDG是解题的关键．