Question

若a，b，c，d是实数且ac=2（b+d），求证：方程x²+ax+b=0 ①和方程x²+cx+d=0 ②中至少有一个方程有实根．

Answer 1

分析：首先分别求出两个方程的判别式，然后把它们相加，接着利用ac=2（b+d）证明它们的和是非负数，根据判别式与方程的根的关系即可解决问题．

解答：解：方程x²+ax+b=0 ①的判别式为△₁=a²-4b，
方程x²+cx+d=0②的判别式为△₂=c²-4d，
所以△₁+△₂=a²-4b+c²-4d=a²+c²-4d-4b=a²+c²-4（d+b），
而ac=2（b+d），
∴△₁+△₂=a²+c²-2ac=（a-c）²≥0，
∴△₁和△₂中至少有一个正数，
∴方程x²+ax+b=0 ①和方程x²+cx+d=0 ②中至少有一个方程有实根．

点评：此题张子扬考查了一元二次方程的根和判别式之间的关系，若△＞0，则方程有两个不相等的实数根；若△=0，则方程有两个相等的实数根；若△＜0，则方程没有实数根．