Question

已知：OE是⊙E的半径，以OE为直径的⊙D与⊙E的弦OA相交于点B，在如图所示的直角坐标系中，⊙E交y轴于点C，连接BE、AC．
（1）当点A在第一象限⊙E上移动时，写出你认为正确的结论：

 

（至少写出四种不同类型的结论）；
（2）若线段BE、OB的长是关于x的方程x²-（m+1）x+m=0的两根，且OB＜BE，OE=2，求以E点为顶点且经过点B的抛物线的解析式；
（3）该抛物线上是否存在点P，使得△PBE是以BE为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明其理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理可得出∠OBE=∠A，那么BE∥AC，△OBE∽△OAC…本题的答案不唯一，只要正确都可以．
（2）已知了OE=2，根据勾股定理可得出OB²+BE²=（BO+BE）²-2OB•BE=4，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求出m的值，也就能求出OB，BE的长，过B作y轴的垂线，根据三角形面积的不同表示方法即可求出B点的纵坐标，进而可求出其横坐标．然后根据E，B点的坐标，用顶点式二次函数通式设抛物线的解析式，然后将B点坐标代入即可求出以E为顶点过B点的抛物线的解析式．
（3）本题要分情况进行讨论：
①当∠PBE=90°时，那么P点必为直线OB与抛物线的交点，因此可先求出直线OB的解析式然后联立抛物线的解析式求出P点的坐标．
②当∠BEP=90°时，设直线EP与圆D交于G点，那么四边形EGOB是个矩形，然后参照求B点坐标时的方法求出G点的坐标，再按①的步骤进行求解即可．

解答：解：（1）AC∥BE；AC⊥OA，BE⊥OB，∠OAC=90°；OB=AB，OE=CE；
BE=

1

2

AC，OA=2OB；∠BEO=∠ACO，∠CAO=∠EBO；

OB

OA

=

BE

AC

；
OB²+BE²=OE²，OA²+AC²=OC²；

AC

的度数=

BE

的度数．

（2）∵BE、OB的长是关于x的方程x²-（m+1）x+m=0的两根．
∴

BE+OB=m+1 BE•OB=m

，
又∵OE是⊙D直径，且OE=2，
∴∠OBE=90°．
∴OB²+BE²=OE²=4．
即（OB+BE）²-2OB•BE=4．
∴（m+1）²-2m=4，
解之，得m=±

3

．
∵BE•OB=m＞0
∴m=

3

．
将m=

3

代入原方程，得x²-（

3

+1）x+

3

=0
解之，得x₁=

3

，x₂=1，
∵OB＜BE
∴OB=1，BE=

3

过B作BF⊥x轴于F，则∠BOF=90°-∠BOE=∠OEB=30度．
∴BF=

1

2

OB=

1

2

，OF=

3

2

．即B（

3

2

，

1

2

）．
∵抛物线顶点为E（0，2）
∴设抛物线的解析式为y=ax²+2．
将B点坐标代入，得a=-2．
所求抛物线解析式为y=-2x²+2．

（3）抛物线上存在点P，使得△PBE是以BE为直角边的直角三角形．
①当∠PBE=90°时，点P必须在BO的延长线上，
设直线OB的解析式为y=kx．
则

1

2

=

3

2

k．
∴k=

3

3

，y=

3

3

x．
解方程组

y=-2x2+2 y= 3 3 x

得

x1=- 2 3 3 y1=- 2 3

x2= 3 2 y2= 1 2

（即为B点，舍去）
②当∠PEB为直角时，延长EP交⊙D于G，连接BG、OG，则BG为⊙D直径，
四边形OBEG为⊙D内接矩形．
∴OG=BE=

3

．∠GOE=∠BEO=30°．
过G作GH⊥y轴于H，则GH=

1

2

，OG=

3

2

，OH=

3

2

．G（-

3

2

，

3

2

）．
可求得直线EG的解析式为y=

3

3

x+2．
解方程组

y=-2x2+2 y= 3 3 x+2

得

x1=- 3 6 y1= 11 6

x2=0 y2=2

（即为E点，舍去）
∴点P的坐标为（-

2

3

3

，-

2

3

）或（-

3

6

，

11

6

）．

点评：本题考查了圆周角定理、一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．