Question

7．已知：图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．
操作：将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．
思考：
（1）直角三角尺边框的宽=1cm，∠BB′C′+∠CC′A′+∠AA′B′=90°；
（2）求边B′C′的长．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥AC于M，交A′C′于N，如图2，先证明MN⊥A′C′，则根据切线的性质得ON=2，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OM=1，所以MN=1，然后利用角平分线的性质定理的逆定理可判定AA′、BB′、CC′分别平分△A′B′C′各内角，则利用三角形内角和定理和角平分线的定义可得∠BB′C′+∠CC′A′+∠AA′B′=90°，
（2）作BD⊥B′C′于D，CE⊥B′C′于E，如图2，在Rt△B′BD中计算出B′D=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$，在Rt△CC′E中计算出C′E=CE=1，然后计算B′D+DE+C′E即可．

解答 解：（1）作OM⊥AC于M，交A′C′于N，如图2，
∵AC∥A′C′，
∴MN⊥A′C′，
∴ON=2，
∵∠BAC=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴MN=2-1=1，
即直角三角尺边框的宽为1cm；
∵内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等，
∴AA′、BB′、CC′分别平分△A′B′C′各内角，
∴∠BB′C′+∠CC′A′+∠AA′B′=90°，
故答案为1，90；
（2）作BD⊥B′C′于D，CE⊥B′C′于E，如图2，
在Rt△B′BD中，∵∠BB′D=30°，
∴B′D=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$，
在Rt△CC′E中，∵∠CC′E=45°，
∴C′E=CE=1，
在Rt△ABC中，BC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴DE=BC=2，
∴B′C′=B′D+DE+C′E=3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了含30的直角三角形三边的关系．