Question

如图,在平面直角坐标系中,已知点坐标为（2,4）,直线x=2与轴相交于点,连结,抛物线y=x从点沿方向平移,与直线x=2交于点,顶点到点时停止移动．

（1）求线段所在直线的函数解析式;
（2）设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标;
②当为何值时,线段最短;
（3）当线段最短时,相应的抛物线上是否存在点,使△的面积与△的面积相等,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）OA所在直线的函数解析式为y=2x;
（2）①点P的坐标是（2,m²﹣2m+4）;②当m=1时,PB最短;
（3）抛物线上存在点,Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA与△PMA的面积相等,理由见解析．

试题分析:（1）根据A点的坐标,用待定系数法即可求出直线OA的解析式;
（2）①由于M点在直线OA上,可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标,因为M点是平移后抛物线的顶点,因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式,P的横坐标为2,将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标;
②PB的长,实际就是P点的纵坐标,因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时,对应的m的值;
（3）根据（2）中确定的m值可知:M、P点的坐标都已确定,因此AM的长为定值,若要使△QMA的面积与△PMA的面积相等,那么Q点到AM的距离和P到AM的距离应该相等,因此可分两种情况进行讨论:
①当Q在直线OA下方时,可过P作直线OA的平行线交y轴于C,那么平行线上的点到OA的距离可相等,因此Q点必落在直线PC上,可先求出直线PC的解析式,然后利用抛物线的解析式,看得出的方程是否有解,如果没有则说明不存在这样的Q点,如果有解,得出的x的值就是Q点的横坐标,可将其代入抛物线的解析式中得出Q点的坐标;
②当Q在直线OA上方时,同①类似,可先找出P关于A点的对称点D,过D作直线OA的平行线交y轴于E,那么直线DE上的点到AM的距离都等于点P到AM上的距离,然后按①的方法进行求解即可．
试题解析:（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx,
∵A（2,4）,
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x;
（2）①∵顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动,
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m,2m）．
∴抛物线函数解析式为y=（x﹣m）²+2m．
∴当x=2时,y=（2﹣m）²+2m=m²﹣2m+4（0≤m≤2）．
∴点P的坐标是（2,m²﹣2m+4）;
②∵PB=m²﹣2m+4=（m﹣1）²+3,
又∵0≤m≤2,
∴当m=1时,PB最短;
（3）当线段PB最短时,此时抛物线的解析式为y=（x﹣1）²+2
即y=x²﹣2x+3．
假设在抛物线上存在点Q,使S_△QMA=S_△PMA．
设点Q的坐标为（x,x²﹣2x+3）．
①点Q落在直线OA的下方时,过P作直线PC∥AO,交y轴于点C,
∵PB=3,AB=4,
∴AP=1,
∴OC=1,
∴C点的坐标是（0,﹣1）．
∵点P的坐标是（2,3）,
∴直线PC的函数解析式为y=2x﹣1．
∵S_△QMA=S_△PMA,
∴点Q落在直线y=2x﹣1上．
∴x²﹣2x+3=2x﹣1．
解得x₁=2,x₂=2,
即点Q（2,3）．
∴点Q与点P重合．
∴此时抛物线上存在点Q（2,3）,使△QMA与△APM的面积相等．
②当点Q落在直线OA的上方时,
作点P关于点A的对称称点D,过D作直线DE∥AO,交y轴于点E,
∵AP=1,
∴EO=DA=1,
∴E、D的坐标分别是（0,1）,（2,5）,
∴直线DE函数解析式为y=2x+1．
∵S_△QMA=S_△PMA,
∴点Q落在直线y=2x+1上．
∴x²﹣2x+3=2x+1．
解得:x₁=2+,x₂=2﹣．
代入y=2x+1得:y₁=5+2,y₂=5﹣2．
∴此时抛物线上存在点Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）
使△QMA与△PMA的面积相等．
综上所述,抛物线上存在点,Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA与△PMA的面积相等．
．
考点:二次函数综合题．