【题目】在中,,的平分线交于点,过点作交的平分线于点.
求证:四边形是矩形;
当满足什么条件时,四边形是正方形.
【答案】(1)见解析;(2)当时,四边形是正方形.理由见解析
【解析】
(1)先根据AB=AC,AD平分∠BAC,得∠BAD=12∠BAC,AD⊥BC,然后根据AE是△ABC的外角平分线,可求出AD⊥AE,然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到四边形ADBE为矩形;
(2)根据矩形的性质可知当∠BAC=90°时,则∠ABC=∠BAD=45°,利用等腰三角形的性质定理可知对应边AD=BD,再运用邻边相等的矩形是正方形,问题得证.
,
证明:∵,平分,
∴,,
∵是的外角平分线,
∴,
∵,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
又∵,,
∴四边形是矩形;
解:当时,四边形是正方形.理由如下:
∵,平分,,
∴,
∴,
又∵四边形是矩形,
∴矩形为正方形.
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【题目】如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF给出下列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③仅有当∠DAP=45°或67.5°时,△APD是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP:⑤PD=EC.其中有正确有( )个.
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【题目】情境观察:
如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.
①写出图1中所有的全等三角形 ;
②线段AF与线段CE的数量关系是 .
问题探究:
如图2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.
求证:AE=2CD.
拓展延伸:
如图3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,点D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足为E,DE与BC交于点F.求证:DF=2CE.
要求:请你写出辅助线的作法,并在图3中画出辅助线,不需要证明.
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【题目】如图1,已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
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【题目】如图,在矩形中,,,.分别是线段,上的点,连接,使四边形为正方形,若点是上的动点,连接,将矩形沿折叠使得点落在正方形的对角线所在的直线上,对应点为,则线段的长为________.
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【题目】如图,在△ABC中,DE分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连CF
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=6,∠BEF=120°,求菱形BCFE的面积.
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【题目】(1)如图①,已知线段,以为一边作等边 (尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图②,已知,,,分别以为边作等边和等边,连接,求的最大值;
(3)如图③,已知,,,,为内部一点,连接,求出的最小值.
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【题目】五一期间,小红到郊野公园游玩,在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向,然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正南方向,求景点A与景点B之间的距离.(结果保留整数)参考数据:sin37≈0.60,cos37°=0.80,tan37°≈0.75
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【题目】端午节当天,小明带了四个粽子(除味道不同外,其它均相同),其中两个是大枣味的,另外两个是火腿味的,准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友.
(1)请你用树状图或列表的方法表示小红拿到的两个粽子的所有可能性;
(2)请你计算小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率.
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