Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=3，AP=1，∠MPN=90°，如图①，当直角边PM经过点B时，另一直角边PN恰好经过点C，将∠MPN从图①的位置开始，绕点P顺时针旋转，PM交射线BA于点E，PN交边BC于点F，当点F与点B重合时停止转动（如图②），在这个过程中，请你观察、探究并解答：

（1）直接写出：线段BC的长度______；
（2）当点E在线段AB上时．设BE=x，EF²=y，求y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，y值最小．最小值为多少？
（3）在整个运动过程中，∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由．
（4）直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=3，AP=1，∠BPC=90°，易证得△ABP∽△DPC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得此时PC的长进而求出BC的长；
（2）首先过点F作FG⊥AD于点G．易证得△APE∽△GFP，求出y关于x的函数关系式，再利用配方法求出函数最值即可；
（3）由相似三角形的对应边成比例，易求得tan∠PEF==3．即可得∠PEF的大小不发生变化；
（4）如图2，3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O₁，O₂，连接O₁O₂，线段O₁O₂即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．
解答：解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=3，
∴PB=，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴=，
即=．
∴PC=3，
∴线段BC的长度为：BC==10；

（2）如图1，过点F作FG⊥AD于点G．
∴四边形ABFG是矩形．
∴∠A=∠AGF=90°．
∴GF=AB=3，∠AEP+∠APE=90°．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠AEP=∠GPF．
∴△APE∽△GFP，
∴=，
∴=，
∴PG=9-3x，
∴AG=BF=10-3x，
∵EF²=BE²+BF²，
∴y=x²+（10-3x）²，
=10x²-60x+100，
=10（x-3） ²+10．
故当x为3时，y值最小，最小值为10．

（3）∠PEF的大小不变．
理由：由（2）得出∵△APE∽△GFP，
∴===3．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF==3．
即tan∠PEF的值不变．
∴∠PEF的大小不变．

（4）如图2，图3所示：
设线段EF的中点为O，连接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB=EF，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
∴线段EF的中点经过的路线长为O₁O₂=PC=．
故答案为：10．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．