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如图,直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,点E是AB的中点,且AD+BC=DC、下列结论中:①△ADE∽△BEC;②DE2=DA•DC;③若设AD=a,CD=b,BC=c,则关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;④若设AD=a,AB=b,BC=c,则关于x的方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根.其中正确的结论有( )个.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】分析:过E作梯形两底的平行线EF,交CD于F;由梯形的中位线定理知AD+BC=2EF,故DC=2EF,由于F是CD的中点,即可证得△DEC是直角三角形,然后根据得到这个条件对四个结论逐一判断.
解答:解:过E作EF∥AD∥BC;
∵E是AB的中点,
∴EF是梯形ABCD的中位线,即AD+BC=2EF,F是CD的中点;
又∵AD+BC=CD,
∴CD=2EF,又F是CD的中点,
易得△DEC是直角三角形,即∠DEC=90°;由于AD∥EF,且F是Rt△EDC斜边CD的中点(即FE=FD),
∴∠ADE=∠FED=∠FDE,
过E作EG⊥CD,
∵∠A=∠EGD=90°,∠ADE=∠GDE,DE=DE,
∴△ADE≌△DEG,同理可证△BEC≌△GEC;
①∵∠DEC=90°,
∴∠AED+∠BEC=90°,又∠ADE+∠AED=90°,
∴∠ADE=∠BEC,又∠A=∠B,
∴△ADE∽△BEC,故①正确;
②在Rt△DEC中,EG⊥CD,由射影定理得:DE2=DG•DC,
由于AD=DG,所以DE2=DA•DC,故②正确;
③若AD=a,CD=b,BC=c,则由:
a+c=b,即c=b-a;
∴关于x的方程ax2+bx+c=0根的判别式为:
△=b2-4ac=b2-4a(b-a)=b2-4ab+4a2=(b-2a)2
由于EF≠AD,即CD≠2AD,b≠2a,
∴△=(b-2a)2>0,
即方程有两个不相等的实数根,故③正确;
④在Rt△EDC中,EG=AE=AB=b,DG=AD=a,CG=BC=c;
由射影定理得:EG2=DG•CG,即(b)2=ac,即b2=4ac,b2-4ac=0;
所以关于x的方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根.故④正确;
因此正确的结论有4个,
故选D.
点评:此题考查的知识点有:直角梯形的性质、相似三角形的判定和性质、梯形中位线定理以及根的判别式等知识,解此题的关键有两步:①证明△DEC是直角三角形,②通过辅助线构造出全等三角形.
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