Question

11．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）填空：
①当∠CAB=45°时，四边形AOED是平行四边形；
②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为正方形．

Answer 1

分析 （1）连接OD后，证明△DOE≌△BOE后，可得∠OBE=∠ODE=90°，所以DE是⊙O的切线；
（2）①由（1）可知：∠ODE=90°，要使四边形AOED是平行四边形，即需要DE∥AO，所以需要∠AOD=90°，又因为OA=OD，所以∠CAB=45°；
②由①可知：四边形OBED是矩形，又因为OD=OB，所以四边形OBED是正方形．

解答 解：（1）连接OD，
∵E是BC的中点，
O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∠BOE=∠BAC，
∠DOE=∠ADO，
∵OD=OA，
∴∠BAC=∠ADO，
∴∠BOE=∠DOE，
在△DOE与△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOE=∠BOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOE，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）①当∠CAB=45°时，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
又∵∠EDO=90°，
∴DE∥AB，
∵OE∥AC，
∴四边形AOED是平行四边形；

②由①可知：∠EDO=∠DOB=∠ABC=90°，
∴四边形OBED是矩形，
∵OD=OB，
∴矩形OBED是正方形．
故答案为：①45°；②正方形．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，切线的判定，平行四边形的判定，正方形的判定等知识，考查学生灵活运用知识的能力．