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    （2010•本溪）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3．
    （1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；
    （2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（-5，0），求抛物线的解析式和对称轴方程；
    （3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式．

    【答案】分析：（1）本题可根据折叠的性质来求解．根据折叠的性质可得出OE=OA，可在直角三角形OCE中，用勾股定理求出CE的长，也就求出了E点的坐标．在直角三角形DBE中，还是根据折叠的性质，DA=DE，DB=3-DE，而BE可根据OA和CE的长求出，因此根据勾股定理即可求出DE即AD的长，也就得出了D点的坐标．
    （2）根据D、E、F的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而可求出其对称轴的方程．
    （3）当内心在y轴上时，根据三角形内心的性质可知：y轴正好是∠PHF的角平分线，那么∠PHO=∠FHO=45°，设PH与x轴的交点为M，易知三角形OMH为等腰直角三角形，由此可求出M的坐标，进而可求出直线PH的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．
    当内心在x轴上时，解法同上．
    （4）根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，当直线HQ⊥OD时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大，此时点Q为垂足．利用三角形相似可求得点Q的坐标．
    解答：解：（1）依题意，OE=OA=5，
    在Rt△OCE中，CE2=OE2-OC2=52-32=42，
    ∴CE=4．
    设点D的坐标为（5，y），
    则AD=DE=y，BD=3-y，BE=5-4=1．
    在Rt△BED中，ED2=EB2+BD2，
    ∴y2=12+（3-y）2，
    解得y=，
    ∴点D，E的坐标分别为（5，），（4，3）．

    （2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
    ∵抛物线过点D（5，），E（4，3），F（-5，0），
    ∴，
    解得，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+5．
    对称轴的方程为．
    ∴对称轴的方程为x=．

    （3）存在这样的P点，使△PFH的内心在坐标轴上．
    ①若△PFH的内心在y轴上，设直线PH与x轴相交于点M，
    ∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM，
    ∴FO=MO，
    ∴点M的坐标为（5，0）．
    ∴直线PH的解析式为y=-x+5．
    解方程组，
    得，．
    ∴点P的坐标为（7，-2）．
    ②若△PFH的内心在x轴上，设直线PF与y轴相交于点N，
    ∵∠HFO=∠NFO，FO⊥HN，
    ∴HO=NO，
    ∴点N的坐标为（0，-5），
    ∴直线FN的解析式为y=-x-5．
    解方程组，
    得，
    ．
    ∴点P的坐标为（12，-17）．
    综合①②可知点P的坐标为（7，-2）或（12，-17）．

    （4）（附加题）点Q的坐标为（，），
    直线HQ的解析式为y=-3x+5．
    点评：本题为二次函数综合题，综合考查了矩形的性质、图形的折叠变换、三角形的内心等重要知识．难度较大．
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    （2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（-5，0），求抛物线的解析式和对称轴方程；
    （3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式．

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