分析 (1)过点A作AD⊥BC于D,设AD=x,由含30°角的直角三角形的性质得出AB=2x,由等腰直角三角形的性质得出CD=AD=x,从而根据BC=BD+DC列出方程,解方程求出AD,即可得出AB的长;
(2)作CD⊥BA于D,则∠DAC=90°,求出∠DAC=30°,由含30°角的直角三角形的性质得出CD,即可求出结果.
解答 解:(1)过点A作AD⊥BC于D,如图1所示:
设AD=x.
在Rt△ABD中,
∵∠ADB=90°,∠B=30°,
∴AB=2x,BD=$\sqrt{3}$x
在Rt△ACD中,
∵∠ADC=90°,∠C=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴CD=AD=x,
∵BC=BD+DC,
即$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{3}$+1,
解得:x=1,
∴AB=2x=2.
(2)作CD⊥BA于D,则∠ADC=90°,如图2所示:∵∠BAC=150°,
∴∠DAC=30°,
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1,
∴求S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×2×1=1.
点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质;准确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键.
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