Question

5．已知，在△ABC中．
①如图1．若∠B=30°，∠C=45°，BC=$\sqrt{3}$+1，求AB的长：
②如图2，若AB=AC=2，∠BAC=150°，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥BC于D，设AD=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AB=2x，由等腰直角三角形的性质得出CD=AD=x，从而根据BC=BD+DC列出方程，解方程求出AD，即可得出AB的长；
（2）作CD⊥BA于D，则∠DAC=90°，求出∠DAC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出CD，即可求出结果．

解答 解：（1）过点A作AD⊥BC于D，如图1所示：
设AD=x．
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AB=2x，BD=$\sqrt{3}$x
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，∠C=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴CD=AD=x，
∵BC=BD+DC，
即$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{3}$+1，
解得：x=1，
∴AB=2x=2．
（2）作CD⊥BA于D，则∠ADC=90°，如图2所示：
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴求S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×2×1=1．

点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；准确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．