Question

(1)如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)，以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到点E′处)连接DE′.

求证：DE′＝DE.
(2)如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠45°)．

求证：DE²＝AD²＋EC².

Answer 1

（1）（2）见解析

(1)证明：∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠ABD＋∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋转而成，
∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE，
∴∠DBE′＝∠DBE，
在△DBE与△DBE′中，
∵BE＝BE′，∠DBE＝∠DBE′
BD＝BD
∴△DBE≌△DBE′(SAS)，∴DE′＝DE.
(2)如图所示：把△CBE旋转90°，

连接DE′，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，
∴AE′＝EC，
∴∠E′AB＝∠BCE＝45°，
∴∠DAE′＝90°，
在Rt△ADE′中，DE′²＝AE′²＋AD²，
∵AE′＝EC，
∴DE′²＝EC²＋AD²
同(1)可得DE＝DE′，∴DE²＝AD²＋EC².