Question

如图，在六边形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；
（2）请选择（1）中的一个结论说明你的理由．

Answer 1

解：（1）矩形ABDE（或BCEF）、菱形BNEM、直角梯形BDEM（或AENB）；
三个特殊四形边中的两个

（2）选择ABDE是矩形．
证明：因为在六边形中，
因为∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=（6-2）×180°
∴∠AFE=∠FAB=120°，
∴∠EAF=30°，
∴∠EAB=∠FAB-∠FAE=90度．
同理可证∠ABD=∠BDE=90度．
∴四边形ABDE是矩形．

选择四边形BNEM是菱形．
证明：同理可证：∠FBC=∠ECB=90°，∠EAB=∠ABD=90°，
∴BM∥NE，BN∥ME．
∴四边形BNEM是平行四边形．
∵BC=DE，∠CBD=∠DEN=30°，∠BNC=∠END，
∴△BCN≌△EDN．
∴BN=NE．
∴四边形BNEM是菱形．

选择四边形BCEM是直角梯形．
证明：同理可证：BM∥CE，∠FBC=90°，
又由BC与ME不平行，
得四边形BCEM是直角梯形．
分析：根据已知条件知道六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=∠EDC=120°，
∴在△AFE中可以求出∠FAE=∠FEA=30°，
同理可以求出图中的其他相关的度数，例如∠BEC=∠FED=90°=∠FBC=∠ECB，这样就可以找出图中的特殊四边形，
证明也比较容易．
点评：此题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，梯形的性质与判定．