在平面直角坐标中．等边△OAB的OB在x轴上.0B=b.满足${a}^{2}-10a+25+\sqrt{b-4}=0$.D(a.0)(1)求a.b的值,(2)点P为x轴上一点.由点P向直线AB作垂线.垂足为C.点D在x轴上.BC=BD.求点P的坐标,的条件下.若点C在AB的延长线上.过点A作直线MN∥x轴.交y轴于点M.交CP的延长线于点N.取AN的中点Q.连接CQ.求△BCQ的面积� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

在平面直角坐标中．等边△OAB的OB在x轴上，0B=b，满足${a}^{2}-10a+25+\sqrt{b-4}=0$，D（a，0）
（1）求a，b的值；
（2）点P为x轴上一点，由点P向直线AB作垂线，垂足为C，点D在x轴上，BC=BD，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点C在AB的延长线上，过点A作直线MN∥x轴，交y轴于点M，交CP的延长线于点N，取AN的中点Q，连接CQ，求△BCQ的面积．

分析（1）利用完全平方公式分解因式，利用非负数的性质得出a、b的数值即可；
（2）画出图形，求得BD，得出BC，利用30°直角三角形的性质和勾股定理得出求得PB，进一步得出P点坐标即可；
（3）由MN∥x轴，得出△PCB∽△NCA，求得AN，得出AQ，利用△AQC的面积减去△AQB的面积即可得出△BCQ的面积．

解答解：（1）∵${a}^{2}-10a+25+\sqrt{b-4}=0$，
∴（a-5）²+$\sqrt{b-4}$=0，
∴a-5=0，b-4=0，
∴a=5，b=4；
（2）如图，

∵D点坐标为（5，0），B点坐标为（4，0），
∴BD=1，
∴BC=BD，
∵PC⊥AB，∠ABO=60°，
∴∠CPB=30°，
∴PB=2，
∴点P的坐标为（2，0）；
（3）如图，

∵MN∥x轴，
∴△PCB∽△NCA，
∴$\frac{PB}{AN}$=$\frac{BC}{CA}$，
即$\frac{2}{AN}$=$\frac{1}{5}$，
∴AN=10，
∴AQ=5，
∴△BCQ的面积=△AQC的面积-△AQB的面积=$\frac{1}{2}$×5×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×4×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$．

点评本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积计算方法是解决问题的关键．

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