Question

5．顺次连接某四边形的四边中点所得的四边形是正方形，则对原四边形的特点叙述正确的是（　　）

• A． 对角线相等的四边形
• B． 对角线互相平分的四边形
• C． 对角线互相垂直且相等的四边形
• D． 对角线互相垂直的四边形

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，再由四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，同理可得IG∥BD，IG=$\frac{1}{2}$BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．

解答 解：如右图所示，四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，
∵四边形EFGI是正方形，
∴∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，
又∵G、F是AD、CD中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，
同理有IG∥BD，IG=$\frac{1}{2}$BD，
∴$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
即AC=BD，
∵GF∥AC，∠IGF=90°，
∴∠IHO=90°，
又∵IG∥BD，
∴∠BOC=90°，
即AC⊥BD，
故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线．