Question

【题目】菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：

①BF为∠ABE的角平分线；

②DF=2BF；

③2AB2=DFDB；

④sin∠BAE=．其中正确的为(　　)

A.①③B.①②④C.①④D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

由四边形ABCD是菱形，即可得BF为∠ABE的角平分线；可得①正确；由当∠ABC=60°时，DF=2BF，可得②错误；连接AC，易证得△AOD∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，可证得AD：DF=OD：AD，继而可得2AB2=DFDB，即④正确；连接FC，易证得△ABF≌△CBF（SAS），可得∠BCF=∠BAE，AF=CF，然后由正弦函数的定义，可求得④正确．

解：①∵四边形ABCD是菱形，∴BF为∠ABE的角平分线，

故①正确；

②连接AC交BD于点O．

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD，∴当∠ABC=60°时，△ABC是等边三角形，

即AB=AC，

则DF=2BF．

∵∠ABC的度数不定，∴DF不一定等于2BF；

故②错误；

③∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD，∴∠FAD=90°．

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=DB，AD=AB，∴∠AOD=∠FAD=90°．

∵∠ADO=∠FDO，∴△AOD∽△FAD，∴AD：DF=OD：AD，∴AD2=DFOD，∴AB2=DFDB，

即2AB2=DFDB；

故③正确；

④连接CF，

在△ABF和△CBF中，∴△ABF≌△CBF(SAS)，∴∠BCF=∠BAE，AF=CF，

在Rt△EFC中，sin∠ECF==，∴sin∠BAE=．

故④正确．

故选：D．