Question

如图，在正方形ABCD中，AE=AB，∠AEB=75°．
求证：（1）△BEF是等腰三角形；
（2）点E在线段AD的垂直平分线上．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质求得∠BFE的度数，然后根据等角对等边即可证得；
（2）连接DE，证明△ADE是等边三角形，根据到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证得．

解答：证明：（1）∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴∠FBE=∠ABE-∠ABD=75°-45°=30°，
在△BEF中，∠BFE=180°-∠FBE-∠AEB=180°-30°-75°=75°，
∴∠BFE=∠AEB，
∴BF=BE，即△BEF是等腰三角形；

（2）连接DE，
在△ABE中，∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-75°-75°=30°，
∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=90°-30°=60°，
∵正方形ABCD中，AD=AB，
又∵AB=AE，
∴AE=AD，
∴△ADE是等边三角形．
∴AE=DE，
∴点E在线段AD的垂直平分线上．

点评：本题考查等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的判定定理，证明△ADE是等边三角形是关键．