已知.点D是三角形ABC所在平面内的任意一点.给出以下判断:①若BD=DC.AD⊥BC.则AB=AC,②若∠BAD=∠CAD.BD=DC.则AB=AC,③若点D在线段BC上.当$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$时.∠BAD=∠CAD,④若点D在线段BC上.当AB=AC=3时.AD2+BD•DC为定值．其中正确的是( )A．①②B．②③C．①②④D．①③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

已知，点D是三角形ABC所在平面内的任意一点，给出以下判断：①若BD=DC，AD⊥BC，则AB=AC；②若∠BAD=∠CAD，BD=DC，则AB=AC；③若点D在线段BC上，当$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$时，∠BAD=∠CAD；④若点D在线段BC上，当AB=AC=3时，AD²+BD•DC为定值．其中正确的是（　　）

A．

①②

B．

②③

C．

①②④

D．

①③④

分析 ①由等腰三角形三线合一得：∠BDE=∠CDE，证明△ABD≌△ACD，可得AB=AC；
②根据条件画图，如图2，发现AB与AC不一定相等；
③如图3，作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理得：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AF}$，可得AF=AC，由等边对等角得∠F=∠ACF，由平行线的性质得出结论：∠BAD=∠CAD；
④如图4，作高线AE，根据勾股定理得：AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，由等腰三角形三线合一得：BE=CE，将前两式相减后变形可得结论．

解答解：①如图1，∵延长AD交BC于E，则AE⊥BC，
∵BD=DC，
∴∠BDE=∠CDE，
∴∠ADB=∠ADC，
在△ABD和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADB=∠ADC}\\{BD=CD}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC，
所以①正确；
②如图2，若∠BAD=∠CAD，BD=DC，但AB≠AC，
所以②不正确；
③过C作CF∥AD，交BA的延长线于点F，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AF}$，
∵$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
∵AF=AC，
∴∠F=∠ACF，
∵AD∥CF，
∴∠BAD=∠F，∠CAD=∠ACF，
∴∠BAD=∠CAD；
所以③正确；
④如图4，作AE⊥BC于E，则AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
则AB²-AD²=（AE²+BE²）-（AE²+DE²）=BE²-DE²=（BE+DE）（BE-DE）=BD•DC，
则AD²+BD•DC=AB²=3²=9．
所以当AB=AC=3时，AD²+BD•DC为定值．
所以④正确；
所以，其中正确的是：①③④；
故选D．

点评本题考查了三角形全等的性质和判定、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质和勾股定理，问题③有难度，辅助线的作出是关键，问题4，利用勾股定理列式后，变形可解决问题．

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A．

B．

C．

D．

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（2）求证：△BEG是等腰直角三角形；
（3）如图2，若正方形ABCD的边长为4，连接CG，当P点为BC的中点时，求CG的长．