Question

8．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2$\sqrt{2}$，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（　　）

• A． $\sqrt{2}$π
• B． π
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=$\sqrt{2}$BC=4，则OC=$\frac{1}{2}$AB=2，OP=$\frac{1}{2}$AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．

解答 解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=2，OP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO=90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长=$\frac{1}{2}$•2π•1=π．
故选B．

点评 本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．