Question

18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），点E（2，0）在OA上，点C的坐标为（0，m）（m≠4），点C关于AB的对称点是点D，连结BD，CD，CE，DE
（1）当点C在线段OB上时，求证：△BCD是等腰直角三角形；
（2）当m＞0时，若△CDE是以CD为直角边的直角三角形，求$\frac{OC}{OE}$的值．

Answer 1

分析 （1）由A（4，0），B（0，4），得出OB=OA=4，∠OBA=45°，因为点D与点C关于直线AB对称，即可证得结论；
（2）分两种情况分别讨论，根据等腰直角三角形的性质求得m的值，进而就可得出结论．

解答 （1）证明：如图，

∵A（4，0）B（0，4），
∴OB=OA=4，∠OBA=45°，
∵点D与点C关于直线AB对称，令交点为M，
∴DM=CM，CD⊥AB于M，
∴∠BCM=45°，BC=BD，∠BDC=45°
∴△BCD为等腰直角三角形；
（2）解：∵E（2，0），
∴OE=2，
（Ⅰ）当∠DCE=90°时，如图1，

∵∠BCD=45°，
∴∠OCE=45°，△OCE为等腰直角三角形，
∴∠CEO=45°   
∴OC=OE=2，
∴$\frac{OC}{OE}$=1；
（Ⅱ）当∠CDE=90°时，如图2，

作DF⊥x轴于点F，
∵∠CMB=∠CDE=90°，
∴AB∥DE 
∴∠DEF=∠BAO=45°，△DFE为等腰直角三角形
∴EF=DF=OB=4，
∴OF=DB=CB=2，
∴m=OC=OB+BC=6，
∵OE=2
∴$\frac{OC}{OE}$=$\frac{6}{2}$=3；
∴$\frac{OC}{OE}$的值为1或3．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，对称的性质，解本题的关键是求出m的值，是一道中等难度的题目．