Question

已知抛物线y=-x²+mx+（7-2m）（m为常数）．
（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点A（x₁，0）、B（x₂，0）的距离为AB=4（A在B的左边），且抛物线交了轴的正半轴于C，求抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）证明：∵△=m²-4×（-1）（7-2m）
=m²-8m+28
=（m-4）²+12＞0，
∴抛物线与x轴恒有两个不同的交点；

（2）解：由AB=4得|x₂-x₁|=4，
∴（x₂-x₁）²=16，
即（x₂+x₁）²-4x₁x₂=16，
由根与系数关系得（-m）²-4•（）=16，
即m²-8m+12=0
解得m=2或m=6，
∵抛物线交y轴的正半轴于C
∴7-2m＞0，
∴m＜，
∴m=6舍去，
即m=2，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
分析：（1）要证明抛物线与x轴恒有两个不同的交点证明抛物线的判别式是正数，所以证明判别式是正数即可解决问题；
（2）首先由AB=4可以得|x₂-x₁|=4，而（x₂-x₁）²=（x₂-x₁）²-4x₁x₂=16，然后利用根与相似的关系即可得到关于m方程，解方程即可求出m，也就求出了抛物线的解析式．
点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点个数与判别式之间的关系，也利用了一元二次方程的根与系数的关系解决问题．