Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=2²－0²，12＝4²－2²，20＝6²－4²，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k＋2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？；
（3）两个连续奇数（取正数）的平方差会是“神秘数”吗？为什么？

Answer 1

是；是4的倍数；不是

试题分析：（1）28＝8²－6²，2012＝504²－502²．所以28和2012是“神秘数”． 　  2分
（2）设两个连续偶数为(2k+2)和2k，
，　　　 　  3分
所以，两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．　　　　　　　　　　　  1分
（3）设两个连续奇数为(2k+1)和(2k－1) ，
，　　　　　　　  3分
所以，两个连续奇数的平方差不是“神秘数
点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键