Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．

（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；

（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)连接OA，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，设半径为, 在Rt△OAE中，利用勾股定理构建方程即可求解；

(2)连接CD，设OA交BC于点H，先证得OA⊥BC，推出OH//CD，设OH=，推出CD=，OA=，AH=，利用勾股定理求得，，即可求解．

(1)连接OA，

∵AE=4，AB=5，AE⊥BD，

∴，即，

∴BE=3，

设⊙O半径为，

在Rt△OAE中，OA=OB=，OE=，AE=4，

∴，即，

解得：，

∴⊙O半径为；

(2)连接CD、OA，设OA交BC于点H，

∵AB=AC，

∴=，即点A为的中点，

∴OA垂直平分BC，

∴OA⊥BC，

∵BD为直径，

∴∠BCD=90，

∵∠BHO=∠BCD=90，BO=OD，

∴OH//CD，CD =2OH，

设OH=，则CD=，

∵BD=2DF，

∴OD=DF，

∴CD =OA，

∴OA=，

则AH=，

在Rt△BOH中，OB=OA=，OH=，

∴，即，

∴，

在Rt△BAH中，，

∴，

∵AB=AC，

∴sin∠ACB= ．