Question

如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是边BC上一点，下列条件中：①∠APB=∠EPC；②∠APE的平分线垂直于BC；③P是BC的中点；④BP：BC=2：3．可以得到△ABP∽△ECP的是

①②④

．（填序号）

Answer 1

分析：由四边形ABCD为正方形，得到四条边相等，四个内角都为直角．
若∠APB=∠EPC，加上∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ABP与三角形ECP相似；
若∠APE的平分线垂直于BC，根据题意画出相应的图形，根据QP垂直BC，得到∠QPB=∠QPC=90°，再由PQ为角平分线得到一对角相等，两等式相减可得出∠APB=∠EPC，加上∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ABP与三角形ECP相似；
若P为BC的中点，由E也为CD的中点，得到CP=CE，又∠C=90°，可得出三角形PEC为等腰直角三角形，而三角形ABP中，AB=2BP，不为等腰直角三角形，故两三角形不相似；
若BP：BC=2：3，设BP=2k，BC=3k，用BC-BP=CP表示出CP，由E为CD的中点，表示出CE，可得出AB：EC=BP：CP，且夹角∠B=∠C=90°，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形ABP与三角形ECP相似，
综上，得到可以得出△ABP∽△ECP的选项．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，
当∠APB=∠EPC时，又∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP；
当∠APE的平分线垂直于BC，如图所示：

∵QP⊥BC，
∴∠QPB=∠QPC=90°，
又∵PQ为∠APE的平分线，
∴∠APQ=∠EPQ，
∴∠QPB-∠APQ=∠QPC-∠EPQ，即∠APB=∠EPC，
同理可得出△ABP∽△ECP；
当P为BC中点时，BP=CP=

1

2

BC，
又∵E为CD的中点，
∴DE=CE=

1

2

CD，
∴PC=EC，
又∵∠C=90°，
∴△PEC为等腰直角三角形，
而AB=2BP，△ABP不为等腰直角三角形，
则P是BC的中点时，两三角形不相似；
当BP：BC=2：3时，设BP=2k，则BC=3k，
∴CP=BC-BP=3k-2k=k，
又∵E为CD的中点，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

BC=

3

2

k，
∴

AB

CE

=

3k

3 2 k

=2，

BP

CP

=

2k

k

=2，
∴

AB

CE

=

BP

CP

，且∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP，
综上，可以得到△ABP∽△ECP的选项为①②④．
故答案为：①②④

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，利用了转化的思想，其中相似三角形的判定方法为：两对对应边相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的三角形相似．