Question

【题目】如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）

①；

②扇形OBC的面积为π；

③△OCF∽△OEC；

④若点P为线段OA上一动点，则APOP有最大值20.25．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

利用垂径定理对①进行判断；利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，则利用扇形的面积公式可计算出扇形OBC的面积，于是可对②进行判断；利用切线的性质得到OC⊥CE，然后根据相似三角形的判定方法对③进行判断；由于APOP=-(OP-)2+，则可利用二次函数的性质对④进行判断．

∵弦CD⊥AB，AB是直径，

∴，所以①正确；

∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，

∴扇形OBC的面积=，所以②错误；

∵⊙O与CE相切于点C，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，

∴△OCF∽△OEC，所以③正确；

∵APOP=(9-OP)OP= -(OP-)2+，

当OP=时，APOP的最大值为=20.25，所以④正确，

故答案为：①③④．