Question

如图，抛物线的顶点坐标是A（2，-2），且经过原点O（0，0），并与x轴相交于另一点B，边接OA、AB．
（1）求抛物线的解析式与B点的坐标；
（2）若点P是抛物线上的一个动点，当P运动到何处时，△OPA是以OA为直角边的直角三形？
（3）在线段OB上有两动点C、D，且点C在点D的左边，在OA上有一点M，线段AB上有一点N，并且四边形CMND是矩形，问当C点位于何处时，四边形CMND的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-2）²-2，然后把点O的坐标代入求出a的值，即可得解，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点B的坐标；
（2）根据点A、B的坐标求出∠AOB=∠ABO=45°，然后求出∠OAB=90°，从而得到点P与点B重合时符合；再根据∠POA=90°时求出直线PO的解析式，然后与抛物线联立求解即可得到点P的坐标；
（3）设CM=x，根据矩形的对边平行可得MN∥CD，然后求出△AMN和△AOB相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出MN，再根据矩形的面积公式列式整理并利用二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-2）²-2，
∵经过原点O（0，0），
∴4a-2=0，
解得a=

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

（x-2）²-2=

1

2

x²-2x，
即y=

1

2

x²-2x；
令y=0，则

1

2

x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∴点B的坐标为（4，0）；

（2）∵点A（2，-2），B（4，0），
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∴∠OAB=180°-45°-45°=90°，
∴点P与点B重合时，△OPA是以OA为直角边的直角三形，
此时P（4，0），
∠POA=90°时，∠POB=45°，
∴直线OP的解析式为y=x，
联立

y=x y= 1 2 x2-2x

，
解得

x1=0 y1=0

，

x2=6 y2=6

，
此时，点P（6，6），
综上所述，点P（4，0），（6，6）时，△OPA是以OA为直角边的直角三形；

（3）设CM=x，∵四边形CMND是矩形，
∴MN∥CD，
∴△AMN∽△AOB，
∴

MN

OB

=

2-CM

2

，
即

MN

4

=

2-x

2

，
解得MN=4-2x，
∴四边形CMND的面积=MN•CM=（4-2x）x=-2（x-1）²+2，
∴当x=1时，四边形CMND的面积最大，最大值为2，
此时，OC=CM=1，
此时，点C坐标为（1，0），
故，C（1，0）时，四边形CMND的面积最大，为2．

点评：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，（2）难点在于要分情况讨论，（3）用CM表示出MN是解题的关键．