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    1．已知：抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）．
    （1）求这条抛物线的函数表达式．
    （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
    （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）已知抛物线过C（0，-2）点，那么c=-2；根据对称轴为x=-1，因此-$\frac{b}{2a}$=-1，然后将A点的坐标代入抛物线中，通过联立方程组即可得出抛物线的解析式；
    （2）本题的关键是确定P点的位置，由于A是B点关于抛物线对称轴的对称点，因此连接AC与抛物线对称轴的交点就是P点．可根据A，C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据一次函数的解析式求出与抛物线对称轴的交点，即可得出P点的坐标；
    （3）△PDE的面积=△OAC的面积-△PDC的面积-△ODE的面积-△AEP的面积，△OAC中已知A，C的坐标，可求出△OAC的面积．△PDC中以CD为底边，P的横坐标的绝对值为高，即可表示出△PDC的面积．△ODE中可先用m表示出OD的长，然后根据△ODE与△OAC相似，求出OE的长，根据三角形的面积计算公式可用m表示出△ODE的面积．△PEA中以AE为底边（可用OE的长表示出AE），P点的纵坐标的绝对值为高，可表示出△PEA的面积．由此可表示出△ODE的面积，即可得出关于S，m的函数关系式．然后根据函数的性质，求出三角形的最大面积以及对应的m的值．

    解答 解：（1）设y=ax2+bx+c（a≠0），则
    $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{9a-3b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
    ∴此抛物线的解析式为y=$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x-2；

    （2）如图，连接AC、BC．
    因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．
    B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P．
    设直线AC的表达式为y=kx+b，则
    $\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
    ∴此直线的表达式为y=-$\frac{2}{3}$x-2，
    把x=-1代入得y=-$\frac{4}{3}$
    ∴P点的坐标为（-1，-$\frac{4}{3}$）；

    （3）S存在最大值，
    理由：如图，∵DE∥PC，即DE∥AC，
    ∴△OED∽△OAC，
    ∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OE}{OA}$，即$\frac{2-m}{2}$=$\frac{OE}{3}$，
    ∴OE=3-$\frac{3}{2}$m，OA=3，AE=$\frac{3}{2}$m，
    ∴S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD
    =$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$m）×（2-m）-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$m×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×m×1
    =-$\frac{3}{4}$m2+$\frac{3}{2}$m
    =-$\frac{3}{4}$（m-1）2+$\frac{3}{4}$
    ∵-$\frac{3}{4}$＜0，
    ∴当m=1时，S最大=$\frac{3}{4}$．

    点评 本题属于二次函数综合题，本题主要考查了待定系数法求二次函数解式、轴对称中的最短路径问题、三角形的面积公式、二次函数求最大值，相似三角形的判定与性质等的综合应用，解题时注意：若无法直接求出三角形的面积时，可用其他图形的面积经过“和差”的关系来求出其面积．

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