Question

10．如图，设边长为a、b、c的△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积都相等，求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 设a、b、c分别△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，每边上的高分别为h_a，h_b，h_c，三个内接正方形的边长分别为x_a、x_b、x_c，△ABC的面积为S，由三个内接正方形的面积都相等，于是得到x_a=x_b=x_c，2S=ah_a=bh_b=ch_c，通过△ADG∽△ABC，得到$\frac{{x}_{a}}{a}=\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，解得x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+{h}_{a}}$=$\frac{2S}{a+{h}_{a}}$，同理x_b=$\frac{2S}{b+{h}_{b}}$，于是得到a+h_a=b+h_b，得到a²b+2bS=b²a+2aS，分解因式得（（b-a）（2S-ab）=0，证得b-a=0，a=b，同理a=c，于是得到结论．

解答 解：设a、b、c分别△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，每边上的高分别为h_a，h_b，h_c，三个内接正方形的边长分别为x_a、x_b、x_c，△ABC的面积为S，
∵三个内接正方形的面积都相等，
∴x_a=x_b=x_c，2S=ah_a=bh_b=ch_c，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{{x}_{a}}{a}=\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，
解得：x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+{h}_{a}}$=$\frac{2S}{a+{h}_{a}}$，
同理x_b=$\frac{2S}{b+{h}_{b}}$，
∴a+h_a=b+h_b，
∴a$+\frac{2S}{a}$=b$+\frac{2S}{b}$，
∴a²b+2bS=b²a+2aS，
分解因式得（（b-a）（2S-ab）=0，
∵2S-ab=ah_a-ab=a（h_a-b）≠0（h_a＜b），
∴b-a=0，∴a=b，
同理a=c，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的判定，三角形的面积，熟记相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．