Question

【题目】如图，在Rt⊿ABC中，∠ACB是直角， tan∠B=,BC=16 cm,点D以2cm/s的速度由点A向点B匀速运动，到达点B即停止，M、N分别是AD、CD的中点，连结MN，设点D的运动时间为t

（1）求MN的长；

（2）求点D由点A到点B匀速运动过程中，线段MN所扫过的面积；

（3）若⊿DMN是等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）MN=6 cm；（2）48；（3）6s、、5s

【解析】

（1）由角的正切值，求出AC的值，然后由中位线定理，即可得到MN的长度；

（2）分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点P，M，N，并连接NP，根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是平行四边形AMNP的面积求解即可；

（3）分三种情况：①当MD=MN时，②当DN=MN时，③当MD=DN，分别求出△DMN为等腰三角形时t的值即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，tan∠B=，BC=16，

∴AC=12，

∵M、N分别是AD、CD的中点

∴MN是△ADC的中位线，

∴MN=6 cm；

（2）作AC的中点P，连结NP，

∵MN∥AP且MN=AP，

∴线段MN所扫过四边形AMNP是平行四边形，

∵当点D与点B重合时四边形AMNP的面积就是线段MN所扫过的面积，此时M、N、P分别是Rt△ABC三边的中点，

∴四边形AMNP的面积= cm2；

（3）①当DM=MN时，DM=，MN=6

∴t=6 ，

②当DN=MN时，连结MC，

∴DN=MN=6，则DC=12，

∴DC=AC，

∴MC⊥AB，

又∵AB==20，

∴MCAB= BCAC，

即：MC20= 1612，

∴MC=，

，

解得：=；

③当DM=DN时，过D作垂线交AC于点P，

∴DP⊥AC ，且P是AC的中点，

又∵∠ACB是直角，则BC⊥AC，

∴DP∥BC，

∴点D是AB的中点，

∴DM=，

当△DMN是等腰三角形时，的值分别是6s、、5s．