Question

13．如图，点D、E分别是△ABC边BC、AB上的点，AD、CE相交于点G，过点E作EF∥AD交BC于点F，且CF²=CD•CB，联结FG．
（1）求证：GF∥AB；
（2）如果∠CAG=∠CFG，求证：四边形AEFG是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到$\frac{CD}{CF}$=$\frac{CF}{CB}$，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{CG}{CE}$=$\frac{CD}{CF}$，等量代换得到$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CE}$，于是得到结论；
（2）联结AF，根据平行线的性质得到∠CFG=∠B，等量代换得到∠CAG=∠B，根据相似三角形的性质得到CA²=CD•CB，等量代换得到CA=CF，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠CFA，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵CF²=CD•CB，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{CF}{CB}$，
∵EF∥AD，
∴$\frac{CG}{CE}$=$\frac{CD}{CF}$，
∴$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CE}$，
∴GF∥AB；

（2）解：联结AF，
∵GF∥AB，
∴∠CFG=∠B，
∵∠CAG=∠CFG，
∴∠CAG=∠B，
∵∠ACD=∠ACB，
∴△CAD∽△CBA，
∴$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CD}{CA}$，即CA²=CD•CB，
∵CF²=CD•CB，
∴CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠CAG=∠CFG，
∴∠GAF=∠GFA，
∴GA=GF，
∵GF∥AB，EF∥AD，
∴四边形AEF是平行四边形，
∴四边形AEFG是菱形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．