Question

13．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CF与OB交于点E，过点F，A分别作⊙O的切线交于点H，且HF与AB的延长线交于点D．
（1）求证：DF=DE；
（2）若tan∠OCE=$\frac{1}{2}$，⊙O的半径为4，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）连结OF，如图，由切线性质得∠1+∠2=90°，再由OC⊥AB得∠C+∠4=90°，然后利用等量代换得到∠1=∠3，则根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）在Rt△OEC中利用正切定义求出OE=$\frac{1}{2}$OC=2，设DF=x，则DE=x，根据勾股定理得到x²+4²=（x+2）²，解得x=3，再利用切线长定理和切线性质得到HF=HA，DA⊥AH，设AH=t，则HF=t，则根据勾股定理得到t²+9²=（t+3）²，然后解方程即可．

解答 （1）证明：连结OF，如图，
∵DH为切线，
∴OF⊥DH，
∴∠1+∠2=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠C+∠4=90°，
∵OF=OC，
∴∠2=∠C，
而∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴DE=DF；
（2）解：在Rt△OEC中，∵tan∠OCE=$\frac{OE}{OC}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=2，
设DF=x，则DE=x，
在Rt△OFD中，x²+4²=（x+2）²，解得x=3，
∴DF=3，DO=5，
∵HF和HA为切线，
∴HF=HA，DA⊥AH，
设AH=t，则HF=t，
在Rt△DAH中，t²+9²=（t+3）²，解得t=12，
即AH的长为12．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．灵活应用勾股定理是解决（2）小题的关键．