Question

1．在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图①，若抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c过A、B两点，求该抛物线的函数表达式．
（2）平移（1）中的抛物线，使其顶点在直线AC上滑动（对应的顶点记作点P），且与AC交于另一点Q．
①如图②，当点Q在x轴上时，求点P坐标．
②若点M在直线AC下方，且△MPQ是等腰直角三角形，当点M在（1）中所求的抛物线上时，求所有符合条件的点P的坐标．
③取BC的中点N，连接NP、BQ，直接写出NP+BQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）①设P（m，m-1），则由平移得到点Q的坐标为（m-2，m-3），当Q在x轴上时，可得m-3=0，解方程即可解决问题；
②分三种情形a、当∠MPQ=90°时，设M（m+2，m-3），b、当∠MQP=90°，M的坐标为（m，m-5），c、当∠PMQ=90°时，M的坐标为（m，m-3），分别列出方程即可求解；
③如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．

解答 解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，-1）．
∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{\frac{1}{2}×16+4b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=-1
∴抛物线的函数表达式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1；

（2）①∵A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），
∴直线AC的解析式为：y=x-1，
∵点P在直线AC上滑动，
∴设P（m，m-1），则由平移得到点Q的坐标为（m-2，m-3），
当Q在x轴上时，m-3=0，
∴m=3，
∴P（3，2）；
②若△MPQ是等腰直角三角形，则可分三种情况，
当∠MPQ=90°时，设M（m+2，m-3），
∵当点M在（1）中所求的抛物线上时，
∴m-3=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2（m+2）-1，
解得m₁=-4，m₂=2，
∴点P的坐标（-4，-5）或（2，1）；
当∠MQP=90°，M的坐标为（m，m-5），
∵M在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1上，
∴-$\frac{1}{2}$m²+2m-1=m-5，
解得m₁=4，m₂=-2，
∴点P的坐标为（4，3）或（-2，-3）．
当∠PMQ=90°时，M的坐标为（m，m-3），
∵M在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1上，
∴-$\frac{1}{2}$m²+2m-1=m-3，
解得m₁=1+$\sqrt{5}$，m₂=1-$\sqrt{5}$，
∴点P的坐标为（1+$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（-4，-5）或（2，1）或（4，3）或（-2，-3）或（1+$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．

③如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、最值问题、等腰直角三角形的判定和性质、平移变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．