Question

【题目】已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线y=x+3与x轴交于点D．

（Ⅰ）求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；

（Ⅱ）将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；

（Ⅲ）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y=x2﹣6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（I）C（3，0），B（1，4）A（6，9）；（II）＜t＜5；（III）

【解析】分析：（Ⅰ）将抛物线的一般式配方为顶点式即可求出点C的坐标，联立抛物线与直线的解析式即可求出A、B的坐标．

（Ⅱ）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（3﹣t，1），然后求出直线AC的解析式后，将点E的坐标分别代入直线AC与AD的解析式中即可求出t的值，从而可知新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围．

（Ⅲ）直线AB与y轴交于点F，连接CF，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G，由直线y=x+3与x轴交于点D，与y轴交于点F，得D（﹣3，0），F（0，3），易得CF⊥AB，△PAB的面积是△ABC面积的2倍，所以ABPM=ABCF，PM=2CF=6，从而可求出PG=12，利用点G在直线y=x+3上，P（m，n），所以G（m，m+3），所以PG=n﹣（m+3），所以n=m+15，由于P（m，n）在抛物线y=x2﹣6x+9上，联立方程从而可求出m、n的值．

详解：（I）∵y=x2﹣6x+9=（x﹣3）2，∴顶点坐标为（3，0）．

联立，

解得：或；

（II）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（3﹣t，1），设直线AC的解析式为y=kx+b

将A（1，4），C（3，0）代入y=kx+b中，∴，

解得：，

∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

当点E在直线AC上时，﹣2（3﹣t）+6=1，解得：t=．

当点E在直线AD上时span>，（3﹣t）+3=1，解得：t=5，

∴当点E在△DAC内时，＜t＜5；

（III）如图，直线AB与y轴交于点F，连接CF，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G．

由直线y=x+3与x轴交于点D，与y轴交于点F，

得D（﹣3，0），F（0，3），∴OD=OF=3．

∵∠FOD=90°，∴∠OFD=∠ODF=45°．

∵OC=OF=3，∠FOC=90°，

∴CF==3，∠OFC=∠OCF=45°，

∴∠DFC=∠DFO+∠OFC=45°+45°=90°，∴CF⊥AB．

∵△PAB的面积是△ABC面积的2倍，∴ABPM=ABCF，

∴PM=2CF=6．

∵PN⊥x轴，∠FDO=45°，∴∠DGN=45°，∴∠PGM=45°．

在Rt△PGM中，sin∠PGM=， ∴PG===12．

∵点G在直线y=x+3上，P（m，n）， ∴G（m，m+3）．

∵﹣3＜m＜1，∴点P在点G的上方，∴PG=n﹣（m+3），∴n=m+15．

∵P（m，n）在抛物线y=x2﹣6x+9上，

∴m2﹣6m+9=n，∴m2﹣6m+9=m+15，解得：m=．

∵﹣3＜m＜1，∴m=不合题意，舍去，∴m=，∴n=m+15=．